«Если уравнение x 2 + y 2 = z 2 (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение x n + y n = z n, где n > 2 (2) не имеет решений на множестве целых положительных чисел.»
Доказательство.
А) Всем известно, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел. Докажем, что ни одна тройка пифагоровых чисел, являющаяся решением уравнения (1), не является решением уравнения (2).
На основании закона обратимости равенства, стороны уравнения (1) поменяем местами. Пифагоровы числа (z, х, у) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а квадраты ( x 2, y 2, z 2) могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на его гипотенузе и катетах.
Доказательство теоремы Ферма
Площади квадратов уравнения (1) умножим на произвольную высоту h:
z 2h = x 2h + y 2 h (3)
Уравнение (3) можно трактовать как равенство объема параллелепипеда сумме объёмов двух параллелепипедов.
Пусть высота трех параллелепипедов h = z:
z 3 = x 2z + y 2z (4)
Объем куба разложился на два объема двух параллелепипедов. Объём куба оставим без изменений, а высоту первого параллелепипед уменьшим до x и высоту второго параллелепипеда уменьшим до y. Объём куба больше суммы объёмов двух кубов:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
На множестве троек пифагоровых чисел (х, у, z) при n = 3 не может быть ни одного решения уравнения (2). Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно куб разложить на два куба.
Пусть в уравнении (3) высота трёх параллелепипедов h = z 2:
z 2z 2 = x 2z 2 + y 2z 2 (6)
Объем параллелепипеда разложился на сумму объёмов двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (6) оставим без изменения. На правой его стороне высоту z 2 уменьшим до х в первом слагаемом и до у 2 во втором слагаемом.
Уравнение (6) обратилось в неравенство:
z 4 > x 4 + y 4 (7)
На множестве троек пифагоровых чисел при n=4 не может быть ни одного решения уравнения (2). Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел невозможно биквадрат разложить на два биквадрата.
Пусть в уравнении (3) высоты параллелепипедов h = z n-2
z n = x 2z n-2 + y 2z n-2 (8)
Объем параллелепипеда разложился на два объема двух параллелепипедов.
Левую сторону уравнения (8) оставим без изменения.
На правой стороне высоту z n-2 уменьшим до x n-2 в первом слагаемом и уменьшим до y n-2 во втором слагаемом. Уравнение (8) обращается в неравенство:
z n > x n + y n (9)
На множестве троек пифагоровых чисел не может быть ни одного решения уравнения (2).
Следовательно, на множестве всех троек пифагоровых чисел при всех n > 2 уравнение (2) не имеет решений.
Получено «постине чудесное доказательство», но только для троек пифагоровых чисел. В этом заключается недостаток доказательства и причина отказа П. Ферма от него.
B) Докажем, что уравнение (2) не имеет решений на множестве троек непифагоровых чисел, представляющем сбой семейство произвольно взятой тройки пифагоровых чисел z = 13, x = 12, y = 5 и семейство произвольно взятой тройки целых положительных чисел z = 21, x = 19, y = 16
Обе тройки чисел являются членами своих семейств:
(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5);…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) (10)
(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) (11)
Число членов семейства (10) и (11) равно половине произведения 13 на 12 и 21 на 20, т. е. 78 и 210.
В каждом члене семейства (10) присутствует z = 13 и переменные х и у, которые принимают значения целых чисел 13 > x > 0 , 13 > y > 0. Переменные последовательно убывают на 1
.
В каждом члене семейства (11) присутствует z = 21 и переменные х и у, которые принимают значения целых чисел 21 > x >0, 21 > y > 0. Переменные последовательно убывают на 1.
Тройки чисел последовательности (10) и (11) можно представить в виде последовательности неравенств третьей степени:
133 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 13
и в виде неравенств четвертой степени:
13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4
Правильность каждого неравенства удостоверяется возвышением чисел в третью и в четвертую степень.
Куб большего числа невозможно разложить на два куба меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы кубов двух меньших чисел.
Биквадрат большего числа невозможно разложить на два биквадрата меньших чисел. Он или меньше, или больше, суммы биквадратов меньших чисел.
С возрастанием показателя степени все неравенства, кроме левого крайнего неравенства, имеют одинаковый смысл:
13 8 < 12 8 + 12 8 ; 13 8 > 12 8 + 11 8 ;…; 13 8 > 12 8 + 5 8 ;…; 13 8 > 1 8 + 1 8
21 14 < 20 14 + 20 14 ; 21 14 > 20 14 + 19 14 ; …; 21 14 > 19 14 + 16 14 ; …; 21 14 > 1 14 + 1 14
При возрастании показателя степени еще на 1 все неравенства, включая и левые крайние неравенства, имеют одинаковый смысл:
13 9 > 12 9 + 12 9 ; > 12 9 + 11 9 ;…; > 12 9 + 5 9 ;…; > 1 9 + 1 9
21 15 > 20 15 + 20 15 ; 21 15 > 20 15 + 19 15 ; …; 21 15 > 19 15 + 16 15 ; …; 21 15 > 1 15 + 1 15
При дальнейшем возрастании показателя степени неравенств они все имеют одинаковый смысл: степень большего числа больше суммы степеней меньших двух чисел с тем же показателем:
13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n (12)
21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n (13)
Левый крайний член последовательностей (12) (13) представляет собой наиболее слабое неравенство. Его правильность определяет правильность всех последующих неравенств последовательности (12) при n > 8 и последовательности (13) при n > 14.
Среди них не может быт ни одного равенства. Произвольно взятая тройка целых положительных чисел (21,19,16) не является решением уравнения (2) великой теоремы Ферма. Если произвольно взятая тройка целых положительных чисел не является решением уравнения, то уравнение не имеет решений на множестве целых положительных чисел, что и требовалось доказать.