DIY для ремонта аккумуляторов и моддинга

[ceramic]

В описании на хевене указано, что эта платка следит за зарядкой вроде бы.

Не совсем, применительно к зарядке, там есть только такое:
Battery woltage to trigger charging: <=3.3V
Voltage to stop charging: >=4.2V
Первое означает, что при напряжении <=3.3V плата будет пропускать только ток зарядки аккума.
Второе -- что при напряжении на аккуме >=4.2V плата не будет пропускать ток заряда.

Можно ли подать на нее 5 вольт, чтобы зарядить батарею?

Нет.
Во-первых, нет ни какой уверенности, что 4.2V это именно 4.2, а не 4.3 или 4.4. Надо проверять каждую плату индивидуально.
Во-вторых, подавать на плату, для зарядки, нужно не напряжение, а ток.

Как это реализовать?

Не мучайте себя и аккум. Используйте стандартное зарядное Li-Ion. Его можно подключать как непосредственно к аккуму, так и к выходу платы (на разъем для атома).

И можно ли при этом парить в режиме пастру?

Можно.